УРАВНЕНИЯ, ОТРАЖАЮЩИЕ СТРУКТУРУ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ

Измерительный мост Кристи–Уитстона как повод формулирования уравнений. В 1833 году английский физик Самуэль Хантер Кристи (Samuel Hunter Christie) предложил новый метод измерения электрического сопротивления, получивший название баланса Кристи. В 1843 году Чарльз Уитстон (Charles Wheatstone) сделал доклад Лондонскому королевскому обществу об этом методе. Выступая перед учеными, он неоднократно ссылался на автора метода, но это осталось незамеченным. За прибором, реализующим новый метод измерения, установилось название – мост Уитстона.

В 1844 году была опубликована статья Уитстона (на немецком языке) о методах измерения электрического сопротивления [1], а в 1845 году в том же журнале была напечатана статья Г. Кирхгофа [2], из которой видно, что он был внимательным читателем этого журнала. В примечании к этой статье Кирхгоф предлагает уравнения для описания схемы и анализирует математическую модель баланса Кристи. Так состоялась первая публикация уравнений Кирхгофа:

В переводе эта цитата читается так:

«Дана система проводов, которые соединены друг с другом совершенно произвольным образом, и по ним протекает гальванический ток, тогда справедливо:

1) Если провода 1, 2, …,  соединены в одной точке, то справедливо

где I₁ , I₂, ... обозначают интенсивности тока, которые протекают в тех проводах, как положительные учитываются все направленные к узлу;

2) Если провода 1, 2,...,v образуют замкнутую фигуру, то справедливо

= сумме всех ЭДС, которые находятся на пути: 1, 2,…, v; где w₁ , w₂ ,… сопротивления проводов, I₁ , I₂, ... обозначают интенсивность токов, которые через них протекают, все в едином направлении учитываются как положительные.»

Причина появления объемного примечания была простой. Завершая эксперимент, описанный в [2], Кирхгоф решил измерить сопротивление проводящего листа по отношению к источнику питания. Для этой цели он воспользовался новым методом и собрал измерительный мост. Структура моста Уитстона была представлена графом, рис.1.

Рис. 1. Граф баланса Кристи.

Уравнения (1), (2) Кирхгоф сформулировал для того, чтобы расчетным путем проверить соотношение:

Статья [1] довольно длинная и посвящена анализу всех методов измерения электрического сопротивления, известных в то время. Ее и сегодня читать трудно, поэтому вполне могло возникнуть желание проверить главное соотношение метода. Вот так, попутно, решая второстепенную задачу, возникли знаменитые уравнения. Именно с помощью уравнений (1), (2) структура электрической цепи была внесена в математическую модель схемы.

«Не боги горшки обжигают». Новые уравнения научная общественность приняла настороженно. Вполне возможно, что именитых ученых раздражал сам факт, что автор был студентом Кёнигсбергского университета. Вероятно, сформулировать эти уравнения были готовы многие, но записал их все-таки Г. Кирхгоф. Вполне возможно, что название уравнений Кирхгофа правилами произошло в жарких спорах того времени.

Джеймс Максвелл при доказательстве теоремы о «тепле» небрежно обошелся с уравнениями Кирхгофа [4]:

«284. В любой системе проводников, не содержащей внутренних электродвижущих сил, тепло, производимое токами, распределенными по закону Ома, оказывается, меньше, чем, если бы токи были распределены любым другим способом, совместным с реальными условиями втекания и вытекания тока».

Несколько выше цитируемого пункта 284, он пишет:

«Теория сопряженных проводников была исследована Кирхгофом. Он сформулировал законы для линейной системы следующим образом, обходя рассмотрение потенциала

1. (Условие «непрерывности»). В любой точке системы сумма всех токов, текущих к этой точке, равна нулю.

2. В любом замкнутом контуре, образованном проводниками, сумма электродвижущих сил, действующих в контуре, равна сумме произведений тока в каждом проводнике не его сопротивление».

2. В любом замкнутом контуре, образованном проводниками, сумма электродвижущих сил, действующих в контуре, равна сумме произведений тока в каждом проводнике не его сопротивление».

Как видим, жизнь знаменитых уравнений началась с борьбы мнений, типичной для результатов, которые опережают время.

От теории к расчетной практике. Через два года после первой публикации Кирхгоф решил применить уравнения для решения разветвленной электрической цепи [3]. Он поставил перед собой очень трудную задачу – не только описать с помощью уравнений (1), (2) большую систему проводников, но и найти токи в ветвях этой цепи. Сложность поставленной математической задачи вынуждала Г. Кирхгофа записывать уравнения в строго упорядоченной форме:

«Поскольку теоремы 1 и 2 должны дать необходимое число уравнений для определения величин I₁,I₂,...,II_n, эти уравнения, как было доказано выше, должны иметь следующий вид:

где часть коэффициентов a равна +1, часть –1 и 0, а u означает то же, что и раньше»

Буквой w обозначена величина сопротивления ветви, а буквой Е – величина ЭДС источника ветви. Уравнения (4) составлены только для независимых контуров и узлов.

К моменту написания статьи [3] понятие матрицы в математике только формировалось, и Кирхгоф не мог им воспользоваться. Однако, благодаря упорядоченной форме записи уравнений математической модели (4), нетрудно разглядеть коэффициенты a у каждого слагаемого. Значения этих коэффициентов в статье были заданы ограниченным множеством чисел – (1, –1, 0), где единицы соответствуют слагаемым уравнений с тем же знаком, а ноль – слагаемым, которые в уравнении отсутствуют.

Запишем систему уравнений (4) для электрической цепи рис.2, проставляя численные значения коэффициентов a :

Правую часть системы уравнений (4а) нет смысла раскрывать подробно, так как источник ЭДС содержится только в ветви 6 электрической цепи рис.2. В нижней подсистеме уравнений (4.6а) правая часть содержит только нули. Коэффициенты a из уравнений (4.6) в системе уравнений (4.6а) принимают знак слагаемых уравнений Кирхгофа и отделены от других математических символов точкой операции умножения.

Рис. 2. Схема моста Уитстона

Таким образом,численные значения коэффициентов a образуют матрицы контурных[B] и узловых [A] инциденций, которые являются алгебраической записью структуры электрической цепи (в частности, значения из (4а) представляют структуру цепи рис.2).

Наложение электродвижущих сил в контуре. Вернемся к методу решения системы уравнений (4), размер которой не ограничивался условиями задачи. Понимая невероятную сложность задачи по нахождению токов этой системы проводников, автор сразу решил находить их значения по очереди, максимально упрощая выражение на первом этапе процесса решения. Для этого требовалась другая система уравнений, и Кирхгоф ее формирует как систему уравнений зависимых контуров, каждый из которых содержит ветвь с искомым током. В работе [5] приведен конкретный пример электрической цепи, граф которой содержит восемь контуров, содержащих ветвь под номером один. Приближенное значение тока I'₁ находится из уравнения, составленного по второму закону Кирхгофа для каждого контура, после чего проводится уточнение выражений.

Покажем последовательность действий на материале статьи [5]:

В условной дроби первого столбца значатся:
а) в числителе – множество ветвей контура;
б) в знаменателе – множество ветвей цепи, не вошедших в контур.
Уточнение результатов производится умножением числителя и знаменателя выражения для тока на сопротивления ветвей из множества знаменателя условной дроби первого столбца.

Если к графам зависимых контуров применить операцию объединения, то в результате получается полный граф цепи, что очевидно. Если эту же операцию применить к числителям/знаменателям уточненных выражений для искомого тока, то получаются выражения определителей формулы (6) как в числителе, так и в знаменателе:

где Δ – определитель системы уравнений; Δ₁ – определитель, у которого столбец 1 заменен столбцом правых частей.

Такой результат подтверждает справедливость описанного нового метода, но остается в тени тот факт, что в процессе решения была использована система уравнений, отличающаяся от системы (4).

Первыми оценили работы Кирхгофа математики, что следует, например, из статьи [6]:

В переводе на русский язык эта цитата читается так:

«Для любой гальванической цепи с разветвлением тока, составленной из линейных проводников, оба известных закона Кирхгофа позволяют записать систему уравнений, в которой величина интенсивности тока любого проводника системы представляется как функция всех источников ЭДС и сопротивлений».

Дальше в статье отмечается, что математическая суть уравнений должна исследоваться отдельно:

или в переводе: «Так имеет место чисто математическая природа, то вполне уместно направить результаты Кирхгофа на чисто математический путь»… Но признание уравнений Кирхгофа не помешало автору статьи отметить недостатки предложенного метода решения, который «не облегчит практических расчетов».

От Кирхгофа к Фойснеру: эстафету принял ученик. Метод решения сложной математической модели анализировали не только математики. В своей статье [7] уже известный физик Фридрих Вильгельм Фойснер (который в начале своего научного пути учился у Кирхгофа) профессионально разбирает статью Кирхгофа [3].

Цитаты, которые Фойснер включает в свой текст, приводятся в отредактированном виде, что, кстати, сделало их более понятными. Так точно понимать и ретранслировать Кирхгофа мог только ближайший его коллега. Это яркий пример, когда читателю является «таинство», называемое: «Ученик превзошел Учителя».

Оценка Фойснером метода решения Кирхгофа более резка по сравнению с упомянутой выше оценкой математика по профессии. Подчеркивается, что топологический метод Кирхгофа (!) не имеет будущего в практических расчетах («не будет использоваться физиками»), поэтому Фойснер предлагает совершенный (даже по современным оценкам!) метод прямого (без формирования систем уравнений) топологического анализа «систем проводников» произвольной сложности.

Суть метода состоит в разложении определителей формулы (6) по ветвям. Например, пусть надо найти величину тока в проводнике, обозначенном буквой а. Используем для этого следующее выражение [7]:

где w_a – сопротивление удаляемой ветви; W_a – входное сопротивление схемы со стороны удаленной ветви; N_a' – определитель системы без ветви а; N_a – определитель минора, соответствующего ветви а.

C учетом формулы (7) определитель (6) принимает вид:

Разложение определителя по ветвям используется для понижения порядка определителей формулы Крамера (6), (8). Отметим, что режим ветви а, удаленной из системы проводников и определителя a N_a, можно характеризовать как холостой ход.

В качестве примера в статье приводится мост Уитстона и определители матрицы, составленной методом контурных токов.

Рис. 3. Пример из статьи [7]

Система уравнений, описывающая схему моста Уитстона рис.3:

Выражение для числителя формулы (6), составленной для определения первого контурного тока и равного ему тока первой ветви:

В работе [8] Фойснер распространяет действие алгоритма разложения определителя по ветвям на отдельные фрагменты электрической цепи. В этом случае автора, прежде всего, интересует упрощение графа электрической цепи с помощью удаления ветвей, как в состоянии холостого хода, так и в режиме короткого замыкания. Кстати, короткое замыкание первой ветви схемы рис.3 приводит к слиянию узлов этой ветви. Граф моста превращается в единственный контур с ветвями:

Фойснер на несколько десятилетий до основоположника диакоптики – Габриэля Крона – применял деление схемы на подсхемы по одному и по двум узлам. Это приводит к резкому уменьшению трудоемкости расчетов и более простым выражениям для токов и напряжений

Формулы Фойснера послужили фундаментом при создании оригинального схемно-топологического метода, который получил название метода схемных определителей [9]. Идеи Фойснера получили развитие в учебном пособии [10], которое объединяет материалы большого числа статей. В рамках метода схемных определителей диакоптические формулы бисекции Фойснера были обобщены на произвольное число узлов, по которым схема делится на две подсхемы

Преимущество метода состоит в том, что в процессе работы у пользователя (студента, инженера) развивается схемное мышление. Это достоинство метода особенно ценно, так как топологические методы перегружены математическими понятиями и алгоритмами, а, следовательно, схемотехнические вопросы отходят на второй план Достаточно упомянуть, например, метод структурных или обобшенных чисел [11], чтобы проиллюстрировать высказанную мысль.

Итак, топологические методы анализа линейных электрических цепей показали, что численные значения переменных обладают структурой, которая является проекцией графа цепи на решение системы уравнений. Суть любого топологического метода состоит в том, что в процессе решения используются элементы этой структуры. Удивительно только то, что все известные топологические методы решения ориентированы на получение точного результата.

Число операций, которые необходимо выполнить для получения численного результата, очень велико, а, следовательно, накапливается погрешность, обусловленная заданием параметров в дискретном виде, т.е. с обязательной погрешностью. Числа исходных данных заключают в себе ошибку, которая оценивается величиной, равной половине цены младшего разряда машинного слова. При операциях с такими числами погрешность накапливается в соответствие с известными формулами. При сложении и умножении погрешности операндов складываются. Уменьшить суммарную накопленную погрешность можно только одним способом – сократить число выполняемых операций. В работе [12] показано, как это можно сделать.

От «проклятия размерности» к ветвящейся цепной дроби: новое осмысление идеи Кирхгофа. Несмотря на совершенство, современные схемно-алгебраические методы ориентированы на точное определение значений переменных. Недостатком этих методов, резко снижающим возможности для конкуренции с численными методами, является раздельное нахождение числителя и знаменателя схемной функции, хотя определители совместно входят в выражение (6). Сохранить их единство можно только с помощью особой технологии деления определителей, в результате которого получается непрерывная цепная дробь [13].

Непрерывная дробь отражает структуру математической модели электрической цепи и предоставляет возможность получения приближенных значений переменных. Для вычислений нет необходимости находить полную ветвящуюся цепную дробь, достаточно определить несколько начальных членов ряда подходящих дробей, погрешность каждой из которых может быть рассчитана [13], [14]. Таким образом, ветвящиеся цепные дроби позволяют остановить вычисления любой переменной или функции схемы при достижении требуемой точности результата.

Отметим, каждая подходящая дробь представляет только часть структуры электрической цепи, т.е. при расчете одновременно реализуются как численное, так и структурное приближения результата. Именно такой подход к решению сложной задачи предлагал Г. Кирхгоф в своей статье о первом топологическом методе [3].

1. Схемно-символьное решение, получаемое непосредственно из структуры электрической цепи, в большей мере отвечает человеческому восприятию, чем матрично-численное. Не случайно, первым общим методом анализа электрических цепей был топологический метод Кирхгофа.

2. Достижением Фойснера стало преодоление ихбыточности перебора сочетаний ветвей схемы, соответствующих ее деревьям, и получение знаменателя отклика в виде компактно свернутой суммы произведений весов деревьев.

3. Приближенное решение в виде ветвящейся цепной дроби можно рассматривать как альтернативное к точному символьному решению, полученному методом схемных определителей.

1. Wheatstone Ch. Beschreibung verschiedener neuen Instrumente und Methoden zur Bestimmung der Constanten einer Volta`schen Kette. // Annalen der Physik und Chemie, Band LXII, Leipzig 1844.– S. 499–543.

2. Кирхгоф Г. О прохождении электрического тока через плоскую пластину, например, круглой формы // Избранные труды. Г. Кирхгоф. – М.: Наука, 1988. – C. 155–166.

3. Кирхгоф Г. О решении уравнений, к которым приводит изучение линейного распределения гальванических токов // Избранные труды. Г. Кирхгоф. – М.: Наука, 1988.– C. 170–178.

4. Максвелл Дж. К. Трактат об электричестве и магнетизме: В 2-х т. Т. 1 . – М.: Наука, 1989. – 416 с.

5. Ерохов И.В. Реконструкция первого топологического метода расчета, созданного Г.Кирхгофом // Тр. Международ. конф. «Континуальные алгебраические логики, исчисления и нейроинформатика в науке, технике и экономике – КЛИН–2006». – Ульяновск: УлГТУ, 2006.– Т. 3.– С. 76–83.

6. Ahrens W. Ueber das Gleichungssystem einer Kirchhoff'schen galvanischen Stromverzweigung // Math. Ann.– 1897.– Band 49.– S. 311–324.

7. Feussner W. Ueber Stromverzeigung in netzförmigen Leitern. // Annalen der Physik und Chemie.– Leipzig.– 1902.– Band 9.– S. 1304–1329.

8. Feussner W. Zur Berechnung der Stromstärke in netzförmigen Leitern. // Annalen der Physik und Chemie.– Leipzig.– 1904.– Band 15.– S. 385–394ig.– 1902.– Band 9.– S. 1304–1329.

9. Горшков К.С., Филаретов В.В. Схемный подход Вильгельма Фойснера и метод схемных определителей / Под ред. В.В.Филаретова.– Ульяновск: Изд-во УлГТУ, 2009.– 189 с.

10. Курганов С.А., Филаретов В.В. Символьный анализ и диагностика линейных электрических цепей методом схемных определителей: Учебное пособие. – Ульяновск: УлГТУ, 2003. – 228 с.

11. Трохименко Я.К. Метод обобщенных чисел и анализ линейных цепей. – М.: «Советское радио», 1972. – 310 с.

12. Ерохов И.В. Новый подход к созданию топологического метода анализа электрических цепей./ Труды международной «Конференции по логике, информатике, науковедению – КЛИН – 2007». – Ульяновск: УлГТУ, 2007. – Том 3. – с.76-84.

13. Скоробогатько В.Я. Теория ветвящихся цепных дробей и ее применение в вычислительной математике. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1983. – 312 с.

14. Стилтьес Т.И. Исследования о непрерывных дробях. – ХарьковКиев: Государственное научно-техническое издательство Украины, 1936. – 156 с.

Ерохов Игорь Васильевич – проф., к.т.н., doc. phil. г. Запорожье, Украина.