ПЕРВЫЕ ЗАКОНЫ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

О трудностях становления теории электрических цепей. Несмотря на то, что ученые-физики, изучающие электрические явления, строили теорию электричества на прочном фундаменте точно установленных фактов, применение математического аппарата не всегда считалось обязательным. Например, для решения задач электростатики математику применяли давно и успешно. Это считалось само собой разумеющимся, т.к. геометрия вносила в процесс решения наглядность.

Однако с открытием «гальванического» электричества возникла проблема в математическом описании движения носителей заряда. Применять геометрический подход к решению новых задач тогда затруднялись. Мало того, большинство ученых считали, что само «гальваническое» электричество является, всего лишь, физическим феноменом, имеющим чисто практическое значение.

Явление возникновения электрического тока при контакте разных металлов и электролита было открыто Луиджи Гальвани в 1786 году. В 1800 году Алессандро Вольта создал батарею гальванических элементов – вольтов столб. Русский академик В.В. Петров в 1802 году изменил положение столба, расположив его горизонтально, что позволило создать самый мощный источник электричества того времени.

По свидетельству В.В. Петрова в России вольтовы столбы создавались кем угодно и без каких-либо расчетов, так как элементы конструкции столба можно было купить почти в каждой лавке [1]. Любознательные граждане собирали дома источники «гальванического» электричества, дабы повторить опыты Луиджи Гальвани с препаратами, полученными от разных животных. Все казалось простым и доступным, не было запроса на серьезный анализ «гальванических» процессов.

Пионерская работа Ома. С учетом сказанного выше, можно в полной мере оценить научную смелость Георга Ома, который назвал свою монографию буквально вызывающе: «Гальваническая цепь, описанная математически» [2]. Книга, изданная в 1827 году, стала первой научной публикацией, которая распространяла математику на изучение электрических явлений. Ученый строил свою теорию на основании экспериментальных данных, которые он считал продолжением исследований Шарля Огюста де Кулона, измерявщего силу взаимодействия электрических зарядов

Выбор измерительных приборов для Ома был небольшой, так как в начале девятнадцатого века электроскоп был «серийным» прибором, которым можно было фиксировать наличие заряда. Принцип работы электроскопа, как и крутильных весов, основан на свойстве взаимодействия электрических зарядов.

Когда главному элементу прибора – металлическому стержню – сообщался заряд, то лепестки из бумаги, а иногда из золота, имеющие со стержнем шарнирное соединение, также получали часть заряда и в результате их взаимодействия они отклонялись от исходного положения на определенный угол, величину которого связывали с, так называемой, «электроскопической силой».

По шкале, укрепленной за стержнем, можно было установить численное значение угла, которое соответствует этой силе. Кроме того, электроскоп имел металлический корпус, который соединялся либо с Землей, либо с общим узлом схемы. В зависимости от этого полученный результат можно было трактовать либо как потенциал относительно Земли, либо как потенциал относительно общего узла схемы.

Крутильные весы Кулона работают на том же принципе, однако более удобны в процессе измерений. Сила взаимодействия зарядов отклоняет подвижный заряд на определенный угол по отношению к нити подвеса. Угол поворота оси соответствует величине этого момента, и по значению угла вычисляют силу взаимодействия зарядов или величину заряда.

«Лиха беда начало». Георг Ом начал с простейшей электрической цепи, состоящей из одного контура, в котором источник электричества подключался к одному или нескольким «предметам», способным проводить ток. Разность зарядов (потенциалов), измеренных на концах «проводящего тела», Ом назвал напряжением, которое считал причиной «движения электричества». Силовую характеристику потока носителей заряда, он называл по-разному, в том числе, «силой электричества».

В результате кропотливых исследований Ом показал, что движение зарядов в любом проводящем предмете можно описать формулой:

где S – величина, характеризующая поток; A – суммарная величина напряжений; L – длина всех «проводящих тел».

Формулу (1) Г. Ом описал в книге следующим образом:

«Величина тока в произвольной гальванической цепи прямо пропорциональна сумме всех напряжений и обратно пропорциональна всем редуцированным длинам цепи»

Интересно продолжить перевод цитаты из оригинального текста:

«при этом необходимо напомнить, что под редуцированной длиной понимается сумма всех соотношений, принадлежащих однородным частям цепи и состоящих из реальных длин и произведений удельной проводимости на площадь поперечного сечения»

Приведенный выше текст легко записать в виде формулы:

где L_i – длина одного из «проводящих тел» контура, [м]; y_i – удельная проводимость одного из «проводящих тел» контура, [Ом^-1/м]; s_i – площадь поперечного сечения одного из «проводящих тел» контура, [м²].

Размерность этой величины соответствует электрическому сопротивлению:

Запишем формулу (1) в современных обозначениях для произвольного контура (der Kreis)

где U_i – напряжение элемента контура; R_j – сопротивление элемента контура; I_k – ток контура.

Если представить, что контур разорван, то получается разомкнутая ветвь (die Zweig). Преобразование контура в ветвь будет эквивалентным при условии, что разность потенциалов узлов ветви будет равна эдс источника контура. В этом случае формула (1) может быть записана следующим образом:

Выражения (1k), (1z) идентичны, а, следовательно, закон Ома применим к любому фрагменту электрической цепи: контуру, ветви, разомкнутому пути. Выражение (1) универсально, конечно, с некоторыми уточнениями, которые уже имеются в тексте монографии [2] и реализованы в (1k), (1z).

Измерять сопротивление «проводящего тела» с помощью линейки вполне возможно, если проводник имеет правильную геометрическую форму, а также известна величина его удельного сопротивления. Однако Г. Ом экспериментировал с «телами» произвольной формы и измерял их длину. Ошибки измерений не было потому, что поток носителей заряда принимал форму минимального сечения «проводящих тел» контура, т.е. был геометрически правильным.

Из книги [2] следует, что «проводящих тел», соединенных последовательно, в эксперименте могло быть несколько, как и источников электричества. Исследуемый контур мог включать в себя, говоря современным языком, несколько резисторов и источников ЭДС. Такой контур уже сложно называть элементарным. Анализируя выражения (1) и (2), а также описание эксперимента, можно трактовать результат Георга Ома как первый шаг к формулировке второго закона Кирхгофа.

«Не знаешь закона Ома – сиди дома». Для определения направления движения тока у Г. Ома была одна понятная всем возможность – обозначить направление движения от положительного полюса источника к отрицательному полюсу (или наоборот). Не желая связывать направление движения носителей заряда с условными обозначениями полюсов источника, ученый высказался по-другому:

«Ток в цепи движется по направлению от точки, с бóльшим значением потенциала, к точке, с меньшим значением потенциала».

Это высказывание получило название «принципа Ома». Уравнение Ома сегодня принято записывать в следующей форме:

где U – напряжение на участке цепи, [В]; I – ток участка цепи, [А]; R – сопротивление участка цепи, [Ом].

Однако Г. Ом результат своего открытия выразил в форме уравнения (1k). Запишем это уравнение, используя понятие электрической проводимости:

где G = 1/R – электрическая проводимость, [Ом^-1].

Принцип дуальности. Уравнения (3), (4) описывают один и тот же объект – резистор – и являются записью одного и того же закона. Выражения обладают одинаковой структурой, что трактуется как сходство, но разные комплекты физических величин этих уравнений, что подчеркивает различия. В теории категорий такие выражения называют двойственными [3]:

«Для каждого предложения теории категорий существует двойственное предложение, которое получается формальным «обращением стрелок».

В нашем случае из уравнения (3) получаем уравнение (4) формальной заменой (по стрелкам) одного комплекта переменных другим.

Имеет смысл привести правило проверки истинности, которое принято в теории категорий: «При этом справедлив, так называемый, принцип двойственности: предложение p истинно в теории категорий тогда и только тогда, когда в этой теории истинно двойственное предложение p*». В нашем случае этот принцип действует, так как оба уравнения содержат один и тот же физический смысл [4].

Действительно, умножим слева обе части уравнения (3) на величину тока I и в результате получим формулу Ленца - Джоуля:

где P – мощность, выделяемая на резисторе при протекании тока.

Умножим слева обе части уравнения (4) на величину напряжения U и в результате получим ту же формулу Ленца - Джоуля:

Мы с полным правом можем называть уравнения (3), (4) законом Ома для участка цепи, так как его легко получить из формулы мощности.

Потенциальные диаграммы Ома. В монографии Ом приводит результаты измерений в наглядном виде. Такие построения в современной теории электрических цепей называются потенциальными диаграммами. Рассмотрим их в том порядке, который установлен текстом книги.

Рис. 1. Потенциальная диаграмма одного «проводящего тела».

На рис. 1 представлена первая из трех диаграмм, которые иллюстрируют результаты измерений. Отрезок HF, параллельный оси абсцисс AB, соответствует редуцированной длине L' «проводящего тела» (R), а отрезок GH, параллельный оси ординат AF, – величине разности потенциалов того же «тела» (U). Запишем соотношение этих отрезков:

Отметим, что второй элемент контура не показан на рис.1. О его наличии свидетельствует лишь отрезок AF – разность потенциалов скрытого «тела». Длина отрезка BG пропорциональна напряжению источника, который также существует на диаграмме только как геометрический объект. Линии KI, LM представляют режимы работы контура при других источниках питания. Треугольники FGH и IKN равны, так как проводящие элементы контура не изменялись.

Рис. 2. Потенциальная диаграмма контура, составленного из двух разнородных проводящих «тел».

На рис.2 представлена потенциальная диаграмма другого контура, составленного из двух проводящих «тел», выполненных из разных металлов.

Рис. 3. Цепь, соответствующая потенциальной диаграмме рис.2.

На рис.3 представлена идеальная электрическая цепь, соответствующая потенциальной диаграмме рис.2. Напряжение внешнего источника равно длине отрезка FK. В месте контакта «проводящих тел» возникает напряжение, обусловленное различием свойств металлов, что представляет отрезок GH. Нумерация резисторов проводится по диаграмме «слева-направо». Линии FG' и H'I описывают распределение потенциалов на «телах» из одного металла, но разных сечений.

Многие положения сегодня не нуждаются в доказательстве. Тогда было необходимо отметить, что величина электрического тока в каждом элементе контура имеет одно и то же значение:

«следует также осознать, что величина тока в такой гальванической цепи остается той же самой везде, во всех местах».

Вероятно, язык геометрии тогда был самым авторитетным и Г. Ом использует его. Например, легко представить перенос отрезка HI параллельно самому себе до совпадения точек H и G, рис.2. В результате этого отрезок MI уменьшится на величину, равную отрезку HI

Запишем уравнение Ома по тексту цитаты в виде формулы (1) для элементов контура (с учетом обозначений потенциальной диаграммы рис.2 и электрической цепи рис.3). Сумма напряжений на резисторах будет равна разности отрезков FK и GH. Потенциал точки F равен расстоянию до оси абсцисс, эта физическая величина имеет знак плюс, а потенциал точки K равен расстоянию до той же оси, но имеет знак минус.

В числителе формул (8) находится суммы напряжений резисторов, а в знаменателе сумма сопротивлений резисторов электрической цепи рис.3.

На рис.4 представлена третья потенциальная диаграмма из источника [2]. Отрезки KI и F’H представляют напряжения, которые возникают на контакте двух разнородных проводящих «тел». Отрезок AF диаграммы соответствует напряжению элемента контура, не упоминаемого в тексте.

Будем считать, что это напряжение, возникает на контакте с полюсом основного источника и обозначаем его Ea. На рис.4, как и на рис.1, распределение потенциалов по проводнику (резистору) показано так, что его величина как бы возрастает при прохождении тока.

Рис. 4. Третья потенциальная диаграмма контура

Рис. 5. Элементы третьего контура.

На рис.5 представлена электрическая цепь, соответствующая потенциальной диаграмме рис.4. Закон Ома записываем для элементов контура в виде формулы (1) (с учетом обозначений потенциальной диаграммы рис.4 и электрической цепи рис.5):

Следует отметить, что Г. Ом считал формулу (1) единственной, которая описывается распространение электричества в проводниках. Конечно, формулу (1) можно уточнить с учетом (2):

Разделение на два закона Ома – для участка цепи (4), (7) и для ветви (8), (9) – произошло значительно позже, что не улучшило понимания физической сути явления.

Вот и все о рождении первых уравнений теории электрических цепей. На 83-ей странице монографии заканчивается изложение теории распространения электричества Георга Ома. Кроме основного текста, монография снабжена обстоятельными приложениями на (с. 87–200), а также дополнением (с. 203–243). Содержание этих разделов здесь не комментируется.

О предшественниках Ома. У Г. Ома были предшественники, например, Генри Кавендиш, который один из первых в 1781 открыл закон, но не опубликовал научный результат. Только в 1879 году Джеймс Максвелл собрал неопубликованные труды ученого и издал их отдельной книгой. Были у Ома и другие предшественники, но это не умаляет значения его научного труда

1. Монография Ома, изданная в 1827 году, была замечена учеными того времени. Пришло время, когда научная общественность была готова к восприятию подобного материала. Книга получилась обстоятельной и понятной читателям.

2. Закон Ома имеет только одну формулировку, которая приведена в этой статье (10), что подтверждается цитатами из оригинального текста. Есть ли собственные источники ветви или их нет, величина тока определяется как соотношение суммы падений напряжения на элементах ветви и суммы их сопротивлений.

3. Георг Ом впервые использовал для отображения результатов ихмерений потенциальные диаграммы. Основываясь на его выражениях (1) и (2), а также описании эксперимента, можно заключить, что Георг Ом был близок (еще до рождения Кирхгофа) к формулировке второго закона Кирхгофа (1845г.).

1. Петров В.В. Известие о Гальвани-Вольтовских опытах (1803г.) // Избранные труды по электричеству.– М.: Гос. Изд. Техникотеоретической лит.– 1956.– С. 11–94.

2. Ohm G.S. Die galvanische Kette, mathematisch bearbeitet // T.H. Riemann: Berlin, 1827. – 247 s.

3. Категория // Математическая энциклопедия: В 5 т. Т.2.– М.: Советская Энциклопедия, 1979. – C. 762.

4. Ерохов И.В. Принцип двойственности и теория электрических цепей // www.bogdinst.ru/works/erohov2014.pdf

Ерохов Игорь Васильевич – проф., к.т.н., doc. phil. г. Запорожье, Украина.