ГРАФ МНОЖЕСТВА РАЗОМКНУТЫХ ПУТЕЙ ОДНА ИЗ ФОРМ СХЕМЫ СОЕДИНЕНИЙ

В оригинальной работе Г.Кирхгофа [1] в качестве примера рассматривается схема моста постоянного тока. Граф схемы приведен на странице, выделенной для иллюстраций. Клише этой страницы вырезалось тогда на грушевой доске, поэтому в тексте писалось «Фигура 5, Доска 5» – такова ссылка на изображение графа электрической цепи. При переводе статьи для сборника работ Г.Кирхгофа [2] была упущена вторая иллюстрация «Fig. 4, Taf. 5». Приведем ее на рис. 1.

Рассуждая о получении «сочетаний параметров», входящих в знаменатель выражения для тока, Г.Кирхгоф обращается к комбинаторике: «Пусть, например, проводники 1, 2, 3 сходятся вместе в одной точке; 3, 4, 5 – в другой; 5, 6, 7 – в третьей (фиг.4, дос.5), тогда отсутствуют все комбинации, которые

Знаменатель выражения для тока Is для системы проводников, представленной на фиг.5, дос. 5, есть сумма всех комбинаций параметров w₁,w₂,...w₆по 3-и элемента в каждой, за исключением

В первой части цитаты Г.Кирхгоф приводит абстрактный пример – есть три узловых множества ветвей [3], каждая из которых характеризуется некоторым параметром (сопротивлением). Заметим, что последняя ветвь первого узлового множества, ее параметр w₃, заменяется двумя ветвями второго узлового множества , w₄,w₅, так как они соединены на рис. 1 общей ветвью. По алгоритму «связывания» узловых множеств их соединяют так, как это следует из исходного графа. Конечно, алгоритм предназначен, прежде всего, для более сложных графов, поэтому для простого примера [1, 2] автор выписывает только простые запретные комбинации, которые представляют собой узловые множества схемы моста постоянного тока. Их не может быть среди комбинаций знаменателя.

Цитатой, приведенной выше, завершается статья [1]. Если бы это рассуждение отсутствовало в тексте, то содержание работы почти не пострадало. Однако автор все-таки привел иллюстрацию (фиг.4, дос.5) и некоторые пояснения к ней. Создается впечатление, что Г.Кирхгоф просто не хотел потерять какую-то очень важную мысль. По какой-то причине он ее детально не проработал и ограничился примером. На рис.2 приведена схема моста постоянного тока

Схеме рис.2 соответствует граф рис.3 (указаны направления токов ветвей).

Граф рис.3 описывается двумя матрицами: A – смежности, D –степеней (валентностей):

По матрицам (1) находят матрицу (2), которая в теории цепей называется матрицей полных проводимостей [4]:

Действительно, схема рис.2 может быть описана по методу узловых потенциалов и коэффициенты системы уравнений образуют «плавающую» матрицу полных проводимостей:

Если в матрице (3) все проводимости ветвей приравнять единице, то получим матрицу (2). Матрица (2) является «плавающей», т.е. содержит лишние строку и столбец, соответствующие заземленному узлу схемы рис.2. После удаления этих элементов из матрицы (2) появляется возможность оценить сложность графа (количество деревьев):

Кроме оценки сложности графа рис.3, из матрицы смежности получают характеристический многочлен:

Корни многочлена имеют следующие значения [4]:

Приведенные выше характеристики графа рис.3 представляют определенный интерес, но не оказывают прямого влияния на алгоритмы расчета схемы рис.2.

Построим граф путей в схеме моста постоянного тока, которые соединяют узлы 0 и 4. Построение проведем по алгоритму, предложенному Г.Кирхгофом. Для этой цели запишем узловые множества ветвей графа моста постоянного тока [3]:

Начнем с узлового множества узла 0, где, кроме ветви источника ЭДС, имеется только одна ветвь 6, ведущая к узлу 2. Связываем узловое множество 2 с узловым множеством 0 , объединяя общую ветвь 6. Продолжая построение графа разомкнутых путей необходимо следить за тем, чтобы каждый путь включал в себя только один раз ветви (узлы) одного номера. Такому требованию отвечают обычно электрические контура – замкнутые пути в графе. Это требование распространяем на разомкнутые пути потому, что их уравнения отличаются только правой частью [5].

На рис.4 приведен граф разомкнутых путей в графе рис.3.

Рассматривая граф рис.4, можно заметить, что ветви 3 имеют разное направление в разных путях для тока. Направление ветви перенесено из графа рис.3 и свидетельствует в данном случае только о том, что ток 3 входит в уравнения узлов 1, 3 с разным знаком.

В режиме баланса мостовой схемы ток ветви 3 равен нулю, т.е. коэффициенты передачи путей, содержащих эту ветвь должны быть равными:

После сокращений элементов равенства (5) получаем известное условие для режима баланса схемы рис.2:

Составим уравнения равновесия каждой ветви и каждого узла для графа рис.4, используя законы Ома и Кирхгофа:

Ветви, токи которых приведены в уравнении 2, заканчиваются в узлах 1, 3 (не в 4), поэтому выражение оставляем в форме первого закона Кирхгофа. В уравнениях 6 и 10 токи, помеченные чертой сверху, переносим в вектор правых частей, т.к. их нет в соответствующих путях на графе рис.4. Запишем уравнения в табличной форме:

После суммированием строк 3, 7; 4, 8; 5, 9 получаем систему уравнений с квадратной матрицей:

Если выбрать другую последовательность переменных, то уравнения (7) будут выглядеть по-иному:

Решение этих матричных уравнений аналитическими, привычными методами затруднительно. Для нахождения неизвестных уравнений (7), (8), вероятно, следует применить один из численных методов решения.

Математическое описание схемы моста постоянного тока в пространстве разнородных переменных (7), (8) отличается от моделей схемы с однородным координатным базисом. По этой причине возникает необходимость проверить каждое уравнение указанных систем. Проделаем это на численном примере. Пусть параметры схемы рис.2 имеют следующие значения:

Сопротивления даны в Омах, а напряжение источника – в Вольтах. Решение уравнений, составленных по методу контурных токов, дает следующие значения токов ветвей [А]:

Решение уравнений, составленных по методу узловых потенциалов, дает следующие значения потенциалов узлов [В]:

После подстановки (9), (10), (11) в уравнения (7), (8) можно убедиться в том, что они составлены правильно.

Любой путь в электрической цепи можно рассматривать как некоторую лестничную схему, каждый независимый узел которой соединен с общим узлом несколькими ветвями. Воспользуемся этим представлением и запишем выражение для входного сопротивления схемы (со стороны источника) в виде цепной дроби:

Полученное выражение (12) является ветвящейся цепной дробью [6] и отличается от простой цепной дроби [7] более сложной структурой. Значение входного сопротивления, полученное из выражения (12), будет приближенным, т.к. при выводе выражения (12) не были учтены источники тока в векторе правых частей. После подстановки параметров в дробь (12) получаем величину входного сопротивления 50,139146 Ом, а по данным численного примера (9), (10) – 52,165385 Ом.

Заключение

В теории электрических цепей отсутствует понятие «подобных» электрических схем, хотя теорема о псевдомощностях [8] предполагает существование такого термина. Действительно, у электрических цепей, относительно которых выполняется эта теорема, должен быть один и тот же граф, хотя параметры ветвей могут быть разными. Напомним, что псевдомощность включает в себя ток и напряжение одной и той же ветви графа, полученные из схем с разным набором параметров.

В математике существует понятие подобных матриц [9]:
«Подобные матрицы не равны, конечно, между собой, но в геометрическом смысле равносильны в том отношении, что они осуществляют одно и то же линейное преобразование пространства, но выраженное в различных координатных системах».
Формально преобразование подобия записывается следующим образом:

где матрица [U] должна обладать определителем отличным от нуля.
Если значения корней характеристического многочлена матрицы [A] различны, то можно найти такую матрицу преобразования (13), которая приводит матрицу [A] к диагональной форме:

где матрица преобразования составлена из координат, соответствующих векторам характеристических чисел преобразуемой матрицы. В случае, когда характеристический многочлен имеет кратные корни, результатом преобразования (14) будет матрица квазидиагонального вида.

Итак, граф множества путей рис.4 позволяет нам получить уравнения (7), (8), которые по своей структуре напоминают математическую модель лестничной схемы [10]. Матрица системы уравнений лестничной схемы имеет ленточный вид, т.к. представляет один путь. Схемные функции такой системы уравнений могут быть записаны с помощью простой цепной дроби. В свою очередь, матрица системы уравнений графа рис.4 описывает четыре пути и имеет квазиленточный вид. Схемные функции такой системы уравнений могут быть записаны с помощью ветвящихся цепных дробей.

Литература

1. Kirchhoff G.R. Ueber die Auflцsung der Gleichungen, auf welche man bei der Untersuchung der linearen Verteilung galvanischer Strцme gefьhrt wird.// Ann. Phys. – Leipzig: Ges. Abh., 1847, Bd.72. – S. 497 –508.

2. Кирхгоф Г. О решении уравнений, к которым приводит изучение линейного распределения гальванических токов // Избранные труды Г.Кирхгоф. – М.: Наука, 1988. – С. 170 – 178.

3. Максимович Н.Г. Методы топологического анализа электрических цепей. – Львов: Изд. ЛвГУ, 1970. – 258 с.

4. Д. Цветкович, М. Дуб, Х. Захс Спектры графов. Теория и применение. – Киев: Наукова думка, 1984. – 384 с.

5. Ерохов И.В. Уравнение разомкнутого пути электрической цепи // Синтез, анализ и диагностика электронных цепей: Междунар.сб.науч. тр./Под ред.В.В.Филаретова. – Ульяновск: УлГТУ, 2009. – Вып.7. – С. 87– 93.

6. Скоробогатько В.Я. Теория ветвящихся цепных дробей и ее применение в вычислительной математике. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1983. – 312 с.

7. Хинчин А.Я. Цепные дроби. – М.: Наука, 1978. -112с.

8. Пенфилд П., Спенс Р., Дюинкер С. Энергетическая теория электрических цепей. – М.: Энергия, 1974. – 152 с.

9. Смирнов В.И. Курс высшей математики. – М.: Гос. Изд. Тех.-теор. Лит., 1956. – Т. 3, Ч.1.

10. Херреро Д., Уиллонер Г. Синтез фильтров. - М.: Сов. Радио, 1971.– 232 с.

Ерохов Игорь Васильевич – профессор Запорожского Классического Приватного Университета (Украина), кандидат технических наук. E-mail: yerokhov@bigmir.net