ОРИЕНТАЦИЯ НУЛЛОРА

У высших школ в Праге богатые традиции. Университет Карла, основанный императором Карлом IV в 1348 году, был первым в Средней Европе. Политехнический институт (ныне Технический университет) создан в 1803 г. на базе первой в Европе Инженерной школы, основанной в 1707 г. Инженеры из Политехнического института Герстнер и Пернер спроектировали и построили первую в России железную дорогу (из Петербурга в Царское Село). Трамваи, произведенные в Чехословацком кооперативном депо, и закупленные СССР в 70-е годы, до сих пор исправно возят пассажиров в Ульяновске, не загрязняя окружающую среду вредными выбросами.

В годы существования первой Чехословацкой Республики (1918– 1938) в Пражском техническом университете проводился семинар на русском языке по радиотехнике. Участник этого семинара Сергей Дядьков, русский по национальности, доктор-инженер (Dr. Ing. – титул, присуждаемый между первой и второй мировыми войнами Tехническим университом в Праге). С.Дядьков был первым директором Института радиотехники и электроники Чехословацкой Академии наук (ИРЭ ЧСАН = URE CSAV).

К математическому аппарату графов меня приобщил мой научный руководитель Мигель Туэро (Miguel Tuero). Степень доктора естественных наук RNDr он получил в пражском Карловом университете и являлся также кандидатом наук – CSc. М.Туэро был испанцем по национальности, приверженцем Демократической Испании, поэтому его сложный жизненный путь пересек Чехословакию. Когда это стало возможным, он вернулся в Испанию. Областью научных интересов М.Туэро являлись полиномы передаточных функций периодических лестничных структур.

В начале 60-х годов (тогда в ЧехоСловацкой Социалистической Республике – ЧССР) я занимался вопросами замены индуктивностей активными RC-схемами. Для классификации и преобразований схемных моделей преобразователей отрицательных сопротивлений (NIC – Negativ Impedance Converter) оказалось полезным использовать нуллаторы и нораторы [1]. Пара из норатора и нуллатора образует нуллор, обладающий свойствами идеального усилителя Теллегена [2, 3].

Использование графов я начал с нахождения числа независимых уравнений – степеней свободы по Гиллемину [4]. C методом Фойснера [5, 6] я познакомился в подробной статье [7] (эта статья является главой в книге того же автора [8]).

В те годы комбинаторными методами занималась и группа научных работников из Математического института ЧСАН. Результатом этих исследований была книга «Комбинаторный анализ на практике» [9]. Интересно, что комбинаторный метод анализа также описан в книге [10], но Кауэр публиковал результаты по этой проблематике в период между мировыми войнами.

Одно из направлений в синтезе электронных цепей связано с применением нуллаторов и нораторов в качестве самостоятельных элементов. Их можно произвольно сочетать между собой, образуя составной аномальный (singular) элемент – нуллор. При этом получаются различные по структуре схемы. В схемах функциональных блоков можно рассматривать нуллатор (НУ) как элемент с нулевыми напряжением и током, а норатор (НО) как элемент с любым напряжением и током подобно тому, как короткое замыкание (КЗ) является элементом с нулевым напряжением и любым током и разомкнутая ветвь (РВ) как элемент с нулевым током и любым напряжением.

Например, в статье [11] использована приближенная модель транзистора, учитывающая, что между базой и эмиттером транзистора имеется небольшое напряжение открытого диода и ток эмиттера приблизительно равен току коллектора, то есть ток базы приблизительно равен нулю. Следовательно, приближенная модель транзистора состоит из нуллатора между базой и эмиттером и норатора между коллектором и эмиттером. Таким же образом были созданы модели преобразователей отрицательных сопротивлений [1].

Появление схем, состоящих, как из элементов R, L, C, так и нуллоров, потребовало разработки нового топологического метода анализа. В силу правила Крамера знаменатель передаточной функции (transfer function) равен определителю схемы, дополненной по виду функции на входе и выходе КЗ- или РВ-ветвью. Числитель передаточной функции (transfer function) равен определителю схемы, дополненной норатором на входе и нуллатором на выходе. Таким образом, схемами числителя и знаменателя можно представить произвольные функции для схем с любыми элементами (R, L, C, НУ, НО). Очевидна возможность обобщения для схем с больше чем одним входом и выходом.

Числитель передаточных функций схем с элементами R, L, C в общем случае может содержать не только положительные, но и отрицательные члены. Что бы различить положительные и отрицательные члены, необходимо ориентировать нуллаторы и нораторы. Вот так нуллаторы и нораторы оказались полезными не только в моделях активных элементов, но и при анализе цепей.

На симпозиуме в Праге «Летняя школа по теории цепей» (Symposium «Summer Scholl on Circuit Theory», Prague, 9.09.–15.09.1965) у меня был доклад [12]. Некоторые результаты я опубликовал в статье [13] и также в монографии [14], написанной на чешском языке с аннотацией и подписями к рисункам, выполненными на английском языке. В монографии [14] дается трактовка передаточных функций с точки зрения ориентации входа и выхода схемы и правила знаков.

Это не моя диссертация на степень кандидата наук (CSc), как ошибочно указано библиографической ссылке [3, с. 221]. В действительности моя диссертация на степень CSc была по теме аппроксимации фильтров с линейной фазой.

Почти одновременно со мной ориентированные нуллаторы и нораторы и (нуллоры) использовал Давиес [15]. Однако мой доклад на симпозиуме в Праге состоялся на полгода раньше, а моя статья [13], опубликованная в том же журнале и том же году, что и статья Давиеса, содержала более общие и далеко идущие результаты. К сожалению, статья [15] не получила дальнейшего развития. Непросто объяснить то обстоятельство, что среди работ по символьному анализу активных электрических цепей крайне мала доля работ, которые опираются на схемные представления и используют в качестве расчетной модели непосредственно схему замещения цепи.

В недавних работах [17–23] использован неудаляемый управляемый источник, являющийся по существу взвешенным ориентированным нуллором, и показано, что не оцененный ранее по достоинству схемный подход (метод сокращенных схем) имеет ключевое значение для формирования выражений символьных схемных функций (ССФ), оптимальных по вычислительной сложности и лишенных избыточных операций вычитания. Намеченные в этих работах пути совершенствования методов символьного анализа предполагают возврат к результатам Фойснера и их развитие для получения схемного решения задачи формирования ССФ сложных активных электрических цепей.

К аналитическим методам я вернулся в своей диссертации на степень доктора технических наук DrSc, в монографии на чешском языке [16] и в нескольких дальнейших выступлениях на конференциях.

Возникает интересный вопрос: почему элементы схемы НУ и НО необходимо ориентировать, в то время как для элементов R, L, C этого делать не нужно? Детальный ответ на этот вопрос требует тщательного обсуждения, которое сделано в работе [16].

Для элементов схемы можно считать одну из переменных u и i зависимой переменную вторую независимой. Ориентацию независимой переменной я определяю в работе [16] как ориентацию элемента. Элементы, для которых независимой переменной является напряжение u и для которых справедливо уравнение i=yu, называются y-элементами, а элементы для которых независимой переменной является ток i и для которых справедливо уравнение u=zi, называются z-элементами. Элементы y и z называются также неособенными (regular).

Существует важная теорема, которая говорит, что неособенные элементы y и z являются обратимыми (reciprocal). Вторая теорема устанавливает, что соединения обратимых элементов и обратимых схем продолжают оставаться и далее обратимыми элементами и схемами, то есть инвариантны к ориентации каждого элемента.

Вообще можно сказать, что в схемах с точки зрения ориентации затруднением является не активное поведение, а необратимость (nonreciprocity). Иными словами, поведение элемента схемы, как источника энергии, и необратимость не являются взаимообусловленными. Существуют элементы которые необратимы и пассивны, например датчик Холла, и наоборот, отрицательное сопротивление является моделью обратимого источника. Однако есть что-то общее между активным и необратимым. Это наличие поля или источника которые принимают косвенное участие в деятельности элемента. Это в случае датчика Холла – магнитное поле, в случае усилителей – источник постоянного напряжения.

В ранней публикации [13] нечетко объяснено, как находится знак передаточной схемной функции, обусловленный ее числителем. Из более подробной работы [16] следует, что целесообразно ввести ориентацию тока и напряжения норатора в обратном направлении по отношению к ориентации положительного источника энергии, то есть согласно ориентации отрицательного сопротивления. Таким образом, существуют нораторы, ориентированные по току, и нораторы, ориентированные по напряжению, а также два вида определителей в числителе ССФ.

Правила нахождения всех шести схемных функций сведены в табл. 1, где применены обозначения ориентированных нуллоров, предложенные в [19]. Графические представления нуллоров обсуждаются в работе [24].

Если обозначить j как вход и k как выход четырехполюсника, то определитель равен D^j _(kj) , когда на входе включен норатор, ориентированный по напряжению, и определитель равен D_j^(kj) , когда ко входу подключен норатор, ориентированный по току. Оба определителя связаны тождеством:

Математический модель схемы электрических цепей, составленных из элементов R, L, C, НУ, НО, образована из двух подсистем уравнений. Первая подсистема уравнений получается из законов Кирхгофа

Ai=0, Bu=0,

(2)

Уравнения (3) в общем случае позволяют задать произвольные линейные элементы, включая управляемые источники. В случае RLC-схем матрицы Y и Z являются диагональными. При наличии нуллора с норатором, ориентированным по току, ненулевой элемент матрицы Y находится на диагонали, а соответствующий ненулевой элемент матрицы Z помещен вне диагонали. В случае нуллора с норатором, ориентированным по напряжению, наоборот, ненулевой элемент матрицы Z помещается на диагонали, а ненулевой элемент матрицы Y вне диагонали.

После подстановки уравнений (3) в уравнения (2) получается матричное уравнение

Mq=0,

(4)

Тождество в уравнении (4) означает, что отклонение на любом входе или выходе схемы должно быть сразу где-то скомпенсировано. Это следствие уравнений Кирхгофа, потому что потенциалы в узлах схемы, магнитное поле контуров выравниваются во много раз быстрее по сравнению с остальными процессами в схеме.

Пусть detM=D определитель матрицы М или схемный определитель. Определитель D является мультилинейной функцией элементов матриц Y и Z. Из этого в случае неособенных элементов цепи следует

Формула (5) включает в себя обе формулы Фойснера для выделения сопротивления и проводимости [17, 18]. В случае выделения сопротивления принимается yj=1, а проводимости – zj=1.

Решение системы (3) требует, чтобы определитель D и все его частные производные первой и высших степеней были нулевые. Это служит основой изложенного в работе [16] альтернативного способа вычисления определителей матриц четырехполюсников и матриц схем с больше чем двумя входами.

Сопоставим определителю D_j^kопределительD_j^(kj):

Из сравнения (6) и (7) следует что определители и отличаются только тем что переставлены столбцы j и k. Это доказывает выражение (1).

Более подробное изложение и примеры использования топологического метода анализа цепей [16] я могу предоставить коллегам по их запросам на мой e-mail.

В заключение я хочу поблагодарить Филаретова Владимира Валентиновича и Горшкова Константина Сергеевича за их интерес, который меня привел к подготовке настоящего сообщения. Проф. Филаретова я благодарю за то, что он взял на себя труд редактора, и за его ценные дополнения и замечания.

Литература

1. Braun J. Equivalent NIC networks with nullators and norators // IEEE Transactions on circuit theory. – 1965. – CT–14, No. 3. – P. 441–442.

2. Tellegen B.D.H. La recherche pour una s?rie compl?te d’?l?ments de circuit ideaux non-lin?aires (23 aprile 1954) // Rendiconti del seminario matematico e fisico di Milano: Sotto gli auspice dell’universit? e del politecnico. – Milano, 1955. – Vol. 25 (1953–1954). – P. 134–144.

3. Миланцей Т. Идеальный усилитель Теллегена // Синтез, анализ и диагностика электронных цепей: Тр. международ. конф. КЛИН–2007. – Ульяновск:УлГТУ,2007.–Т.3.–С.222–234.

4. Guillemin E.A. Inroductory Circuit Theory. – New York, J. Wiley, 1953.

5. Feussner W. Ueber Stromverzweigung in netzformigen Leitern // Annalen der Physik. – 1902. – Bd 9, N 13. – S. 1304–1329.

6. Feussner W. Zur Berechnung der Stromstarke in netzformigen Leitern // Annalen der Physik. – 1904. – Bd 15, N 12. – S. 385–394.

7. Weinberg L. `s «Third and fourth laws» // IRE Trans. on circuit theory. 1958.– Vol. CT-5, №1.– P. 8–30.

8. Weinberg L. Network Analysis and Synthesis.– New York: McGaw-Hill Book Inc., 1962.

9. Culik K., Dolezal V., Fiedler M. Kombinatoricka analyza v praxi.– Praha: SNTL, 1967.

10. Cauer W. Theorie der Linearen Wechselstromschaltungen.– Berlin: Academie-Verlag,1954.

11. Martinelli G. Sintesi di una generica funzione di transferimento mediante il nullator ed il norator. // Alta Frequenza. vol. XXXII – 1963 – P. 274 – 282.

12. Braun, J. Analytical Methods in Active Network Theory // Summer Scholl on Circuit Theory, Prague, 1965.– Praha: Acta Polytechnica.– Series IV.– No. 1.– P. 5.

13. Braun J. Topological analysis of networks containing nullators and norators // Electronics letters. – 1966. – Vol. 2, no. 11. – P. 427–428.

14. Braun J. Metoda singularnich prvku v teorii linearizovanych aktivnich nereciprocnich soustav / Rozpravy CSAV, Rada tech. ved (Rocnik 79–Sesit 2).– Praha: Academia nakladatelstvi Ceskoslovenske akademie ved, 1969.– 60 p.

15. Davies A.G. Topological solutions of network containing nullators and norators // Electronics letters. – 1966. – Vol. 2. – P. 90.

16. Braun J. Kombinatoricke metody v analyze a modelovani elektronickych soustav (Combinatorial Methods in Analysis and in Models of Electronics Systems).– Praha: Academia, 1990.

17. Филаретов В.В. Топологический анализ электронных схем методом выделения параметров // Электричество. – 1998. – № 5.– С. 43–52.

18. Filaretov V.V. A topological analysis of electronic circuits by a parameter extraction method // Electrical technology Russia. – 1998. – N 2.– P. 46–61.

19. Филаретов В.В. Формирование символьных функций для активных электрических цепей методом стягивания и удаления ветвей // Электричество. – 2001. – № 4. – С. 43–51.

20. Филаретов В.В. Метод двоичных векторов для топологического анализа электронных схем по частям // Электричество. – 2001. – № 8. – С. 33–42.

21. Филаретов В.В. Схемное отображение матрицы для символьного решения систем линейных алгебраических уравнений // Логико- алгебраические методы, модели, прикладные применения: Тр. международ. конф. КЛИН–2001. – Ульяновск: УлГТУ, 2001. – Т. 3. – С. 13–15.

22. Filaretov V. V., Korotkov A. S. Generalized parameter extraction method in network symbolic analysis // Proceedings of the European conference on circuit theory and design (ECCTD–2003). – Krakow, Poland, 2003. – Vol. 2. – P. 406–409.

23. Filaretov V. V., Korotkov A. S. Generalized parameter extraction method in case of multiple excitation // Proceedings of the 8-th international workshop on Symbolic Methods and Applications in Circuit Design. – Wroclaw (September 23–24). – 2004. – P. 8–11.

24. Курганов С.А., Миланцей Т., Филаретов В.В. Обозначения аномальных элементов в теории электрических цепей // Схемно- алгебраические модели активных электрических цепей: Синтез, анализ, диагностика: Тр. международ. конф. КЛИН–2006. – Ульяновск: УлГТУ, 2006. – Т. 3. – С. 236–238.

Jaromir Braun– Ing, CSc, DrSc. Research scientist of Department of Broadband Signals of Institute of Photonics and Electronics, Academy of sciences of Czech Republic. 182 51, Praha 8, Chaberska 57, Home address: 182 00, Praha 8, Ryzlinkova 14. E-mail: jaromir.braun@centrum.cz